Função trigonométrica

Em matematica, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triangulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no circulo unitario. Na analise matematica, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries finitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexo.
Atualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo. As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco co-seno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", i.e., arcsen, arccos, etc.; a notação usando-se −1 como na notação da função inversa não é recomendada, pois causa confusão com o inverso multiplicativo, como em sen^-1 e cos^-1. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo:

$\operatorname{arcsen}(1) = \frac{\pi}{2}$

pois

$\operatorname{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1$ .

A noção de que existe alguma correspondência padrão entre os tamanhos dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo surge assim que se reconhece que triângulos semelhantes têm as mesmas razões entre seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante, a razão entre a hipotenusa (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados serão duas vezes maiores. As funções trigonométricas expressam justamente tais razões. As funções trigonométricas foram estudadas por Hiparco de Niceia (180-125 a.C.), Ptolomeu do Egito (90-165 d.C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (século XIV), Ulugh Beg (século XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus, e o estudante de Rheticus, Valentin Otho.Madhava de Sangamagramma (c. 1400) fez progressos iniciais na análise de funções trigonométricas em termos de séries infinitas. Introductio in analysin infinitorum (1748), de Leonhard Euler, foi em boa parte responsável por estabelecer o tratamento analítico das funções trigonométricas na Europa, também as definindo como séries infinitas e apresentando a "fórmula de Euler", bem como as abreviações quase modernas sen., cos., tang., cot., sec., e cosec.Algumas funções eram historicamente comuns, mas agora são raramente usadas, como a corda (crd(θ) = 2 sen(θ/2)), o verseno (versen(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sen²(θ/2)) (que surgiu nas mais antigas tabelas), o haverseno (haversen(θ) = versen(θ) / 2 = sen²(θ/2)), a exsecante (exsec(θ) = sec(θ) − 1) e a excossecante (excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1). Muitas outras relações entre essas funções estão listadas no artigo sobre identidades trigonométricas.
Etimologicamente, a palavra seno deriva da palavra sânscrita para metade da corda, jya-ardha, abreviada para jiva. Esta foi transliterada para o árabe como jiba, escrita como jb, já que as vogais não são escritas em árabe. A seguir, a transliteração foi mal traduzida, no século XII, para o latim, como sinus, com a impressão errônea de que jb referia-se à palavra jaib, que significa "seio" em árabe, tal como sinus em latim. Finalmente, o uso em língua portuguesa converteu a palavra latina sinus para seno. A palavra tangente vem do latim tangens, que significa tocando, já que a linha toca o círculo unitário; já secante origina-se do latim secans — "cortando" — já que a linha corta o círculo.

Definição do triângulo retângulo

A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo $\alpha\,$ , considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a $\alpha\,$ . As funções são definidas como:

Triângulo retângulo indicando a hipotenusa e os catetos.

$\begin{array}{rclcl} \sen \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{a}{h}\\ ~\\ \cos \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{b}{h}\\ ~\\ \tan \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{a}{b}\\ ~\\ \cot \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{b}{a}\\ ~\\ \sec \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{h}{b}\\ ~\\ \csc \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{h}{a} \end{array}\,$

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo. Isto é uma consequência do teorema de Tales.

Definição no ciclo trigonométrico

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo $\theta\,$ real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto $(x,y)\,$ pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de Pitágoras afirma que:

$x^2 + y^2=1\quad (1)\,$

E, ainda, para cada ângulo $\theta\,$ existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento $\overline{OP}\,$ faz um ângulo $\theta\,$ com o eixo x.
Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento $\overline{OP}\,$ sobre o eixo y. O co-seno é definido como a projeção do segmento $\overline{OP}\,$ com o eixo x. Isto é:

$\sen\theta=y\quad \cos\theta=x\quad (2)\,$

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:

$\begin{array}{rclrcl} \tan \theta &=& \frac{\sen \theta}{\cos \theta}\quad & \sec \theta &=& \frac{1}{\cos \theta}\\~\\ \csc\, \theta &=& \frac{1}{\sen \theta}\quad & \cot\, \theta &=& \frac{\cos \theta}{\sen \theta}\end{array}$

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo retângulo.

Ângulos notáveis

Podemos calcular as funções trigonométricas para os ângulos de 30 e 60 graus através de um triângulo equilátero partido ao meio por sua altura.

$\begin{array}{rclcrcl} \sen 30^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2},\quad& \sen 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\~\\ \cos 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},& \cos 60^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\~\\ \tan 30^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3},& \tan 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\~\\ \cot 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},& \cot 60^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\~\\ \sec 30^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3},& \sec 60^o &=& \frac{1}{1/2}=2\\~\\ \csc 30^o &=& \frac{1}{1/2}=2,& \csc 60^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array} \,$

As funções trigonométricas para o ângulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxílio de um triângulo retângulo isósceles de catetos 1, cuja hipotenusa vale (pelo teorema de Pitágoras) $\sqrt{2}\,$ .

$\begin{array}{rclcrcl} \sen 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad& \cos 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\~\\ \tan 45^o &=& \frac{1}{1}=1,\quad& \cot 45^o &=& \frac{1}{1}=1\\~\\ \sec 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \quad& \csc 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \end{array} \,$

Funções elementares

Função seno

Gráfico de f(x) = sen x

$f(x) = \operatorname{sen}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = sen x$

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D = R$
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname{Im} = [-1, 1]$
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2\pi$ . Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função $f(x) = \operatorname{sen}\, x$ , a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a $2\pi$ , portanto o período é 2 $\pi$ .
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
- f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).
- f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).

Função cosseno

Gráfico de f(x) = cos x

$f(x) = \operatorname{cos}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = cos x$

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D = R$
Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname{Im} = [-1, 1]$
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2\pi$ . Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x , a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a $2\pi$ , portanto o período é $2\pi$ .
Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
- f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
- f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).

Função tangente

Gráfico de f(x) = tg x

$f(x) = \operatorname{tg}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = tg x$

Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de $\cos x = 0$ (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
Conjunto Imagem: $\operatorname{Im} = \left]-\infty, \infty \right[$
Gráfico: Tangentóide.
Período: $\pi$
Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:

f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).

f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).

Bibliografia

Adaptado do site:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica

Acessado em 08/06/2013 ás 08:56 horas

sábado, 8 de junho de 2013

Funções trigonométricas