[ÁLGEBRA NO SÉCULO XIX]
[GRANDES DESCOBERTAS ALGÉBRICAS]
O
século dezenove, mais do que qualquer período precedente, mereceu ser
conhecido como Idade Áurea da matemática. Na
álgebra o conceito de grupo foi sem dúvida a força mais importante para
a coesão, e foi um fator essencial no surgimento das idéias abstratas. Os
conceitos fundamentais da álgebra moderna (ou abstrata), topologia e
espaços vetoriais foram estabelecidos entre 1920 e 1940, mas a vintena
de anos seguinte viu uma verdadeira revolução nos métodos da topologia
algébrica que se estendeu à álgebra e à análise, resultando uma nova
disciplina chamada álgebra homológica.
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[2013]
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Getulio Freire
[UNIVERSIDADE DO ESTADO
DO PARÁ]
[outubro/2013]
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O século dezenove, mais do que
qualquer período precedente, mereceu ser conhecido como Idade Áurea da
matemática. O que se acrescentou ao assunto durante esses cem anos supera de
longe, tanto em quantidade quanto em qualidade , a produtividade total combinada
de todas as épocas precedentes.
2. ÁLGEBRA NO SÉCULO XIX
Em 1892 um novo mundo na geometria
foi descoberto por Lobachevsky, um russo que tivera um professor alemão, e em
1874 o campo da análise fora assombrado pela matemática do infinito introduzido
por Cantor, um alemão nascido na Rússia. A França já não era mais o centro
reconhecido do mundo matemático, embora fornecesse a carreira meteórica de
Évariste Galois (1811 – 1832). O caráter internacional do assunto se percebe no
fato de as duas contribuições mais revolucionárias na álgebra terem sido
feitas, em 1843 e 1847, por matemáticos que ensinavam na Irlanda, embora, os
contribuidores mais prolíficos à álgebra do século dezenove tenham sido os
ingleses que passaram algum tempo na América, - Arthur Caley (1821 – 1895) e J.
J. Sylvester (1814 – 1897) – e foi principalmente na universidade de onde esses
provinham, Camdridge, que se deu o aparecimento da álgebra moderna.
O ponto de virada na matemática inglesa veio
em 1815, o algebrista George Peacock (1791 – 1858) não produziu resultados
novos notáveis em matemática, mas teve grande importância na reforma do assunto
na Inglaterra, especialmente no que diz respeito à álgebra. Num esforço para
justificar as idéias mais amplas na álgebra, Peacock em 1830 publicou seu Treatise
on Algebra, em que procurou dar à álgebra uma estrutura lógica comparável à
de Os elementos de Euclides. A álgebra de Peacock tinha sugerido que os
símbolos para objetos na álgebra não precisam indicar números, e Augustus De
Morgan (1806 – 1971) argüía que as interpretações dos símbolos para as
operações eram também arbitrárias; George Boole (1815 – 1864) levou o
formalismo à sua conclusão. A matemática já não estava limitada a questões de
número e grandeza contínua.
Aqui pela primeira vez está
claramente expressa a idéia de que a característica essencial da matemática é
não tanto seu conteúdo quanto sua forma. Se qualquer tópico é apresentado de
tal modo que consiste de símbolos e regras precisas de operação sobre símbolos,
sujeitas apenas à exigência de consistência interna, tal tópico é parte da
matemática.
3. CONCEITOS MATEMATICOS FUNDAMENTAIS
A multiplicidade de álgebra
inventada no século dezenove poderia ter dado à matemática uma tendência
centrífuga se não tivessem sido desenvolvidos certos conceitos estruturais. Um
dos mais importantes desses foi a noção de grupo, cujo papel unificador na
geometria já foi indicado. Na álgebra o conceito de grupo foi sem dúvida a
força mais importante par a coesão, e foi um fator essencial no surgimento das
idéias abstratas. Não houve uma pessoa responsável pelo surgimento da idéia
grupo, mas a figura que mais se sobressai neste contexto foi o homem que deu o
nome a esse conceito, o jovem Évariste Galois, morto tragicamente antes de
completar vinte anos. A obra de Galois foi importante não só por tornar a noção
abstrata de grupo fundamental na teoria das equações, mas também por levar,
através das contribuições de J. W. R. Dedekind (1831 – 1916), Leopold Kronecker
(1823 – 1891) e Ernst Eduard Kummer (1810 – 1893), ao que se pode chamar
tratamento aritmético da álgebra, algo parecido com a aritmetização da análise,
isto significa o desenvolvimento de um cuidadoso tratamento postulacional da
estrutura algébrica em termos de vários corpos de números.
A Itália tinha parte um tanto
menos ativa no desenvolvimento da álgebra que a França, a Alemanha e a
Inglaterra, mas durante os últimos anos do século dezenove houve matemáticos
italianos que se interessaram profundamente pela lógica matemática. O mais
conhecido desses foi Giuseppe Peano (1858 – 1932) cujo nome é lembrado hoje em
conexão com os axiomas de Peano dos quais dependem tantas construções rigorosas
da álgebra e da análise.
O alto grau de abstração formal
que se introduziu na análise, geometria e topologia no começo do século vinte
não podia deixar de invadir a álgebra. O resultado de um novo tipo de álgebra,
às vezes, inadequadamente descrito como "álgebra moderna", produto em
grande parte do segundo terço do século. É de fato verdade que um processo
gradual de generalização na álgebra tinha sido desenvolvido no século dezenove,
mas no século vinte o grau de abstração deu uma virada brusca, pois x e y
já não representavam mais necessariamente números desconhecidos (reais ou
complexos) ou segmentos, como na obra de Descartes; agora podiam designar
elementos de qualquer tipo – substituições, figuras geométricas, matrizes,
polinômios, funções, etc.
4. ÁLGEBRA MODERNA
A notável expansão da matemática aplicada no
século vinte de modo algum diminuiu o ritmo do desenvolvimento da matemática
pura, nem o surgimento de novos ramos diminuiu o vigor dos antigos.
Os conceitos fundamentais da álgebra moderna
(ou abstrata), topologia e espaços vetoriais foram estabelecidos entre 1920 e
1940, mas a vintena de anos seguinte viu uma verdadeira revolução nos métodos
da topologia algébrica que se estendeu à álgebra e à análise, resultando uma
nova disciplina chamada álgebra homológica. A álgebra homológica é um
desenvolvimento da álgebra abstrata que trata de resultados válidos para muitas
espécies diferentes de espaços – uma invasão do domínio da álgebra pura pela
topologia algébrica. Nunca antes a matemática esteve tão unificada quanto hoje,
pois os resultados desse ramo têm aplicação tão ampla que as etiquetas antigas,
álgebra, análise, geometria, já não se ajustam aos resultados de pesquisas
recentes.
A maior parte do enorme
desenvolvimento durante os vinte anos seguintes à Segunda Grande Guerra Mundial
teve pouco que ver com as ciências naturais, sendo estimulada por problemas
dentro da própria matemática pura; no entanto durante o mesmo período as
aplicações da matemática à ciência se multiplicaram incrivelmente. A explicação
dessa anomalia parece clara: a abstração e percepção de estruturas tem tido
papel cada vez mais importante no estudo da natureza, como na matemática. Por
isso mesmo em nossos dias de pensamento superabstrato, a matemática continua a
ser a linguagem da ciência, tal como era na antigüidade. No entanto, loucura e
sabedoria estão tão misturadas na sociedade humana que há agora uma
possibilidade muito real de que a matemática do homem se torne um dia o
instrumento de sua própria destruição.
5. BIBLIOGRAFIA
SIMIS, Aron. Introdução à Álgebra. IMPA – Monografias
de Matemática. Rio de Janeiro, 1976.
GARCIA, Arnaldo LEQUAIN, Yves. Álgebra: um curso de
introdução. IMPA. Rio de Janeiro, 1988.
AZEVEDO, Alberto PICCININI,
Renzo. Introdução à teoria dos grupos. IMPA, Rio de Janeiro, 1969.
ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos
de Álgebra Abstrata. Nobel. São Paulo, 1979.
