Ao agrupamento de elementos com características semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes elementos são números, tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos.
Conjunto dos Números Naturais
Em algum momento da sua vida você passou a se interessar por
contagens e quantidades. Talvez a primeira ocorrência desta necessidade,
tenha sido quando lá pelos seus dois ou três anos de idade algum
coleguinha foi lhe visitar e começou a mexer em seus brinquedos.
Provavelmente, neste momento mesmo sem saber, você começou a se utilizar
dos números naturais, afinal de contas era necessário garantir que
nenhum dos seus brinquedos mudasse de proprietário e mesmo desconhecendo
a existência dos números, você já sentia a necessidade de um sistema de
numeração.
Em uma situação como esta você precisa do mais básico dos conjuntos
numéricos, que é o conjunto dos números naturais. Com a utilização deste
conjunto você pode enumerar brinquedos ou simplesmente registrar a sua
quantidade, por exemplo.
Este conjunto é representado pela letra N (
). Abaixo temos uma representação do conjunto dos números naturais:
As
chaves são utilizadas na representação para dar ideia de
conjunto. Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, já que os
conjuntos numéricos são infinitos.
Este conjunto numérico inicia-se em zero e é infinito, no entanto
podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. A seguir
temos um subconjunto do conjunto dos números naturais formado pelos
quatro primeiro múltiplos de sete:
Para representarmos o conjunto dos números naturais, ou qualquer um
dos outros quatro conjuntos fundamentais, utilizamos o caractere
asterisco após a letra, como em
. Temos então que:
Conjunto dos Números Inteiros
Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou
conhecimento da existência de números negativos, ao lhe falarem que
naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de zero. Curioso
você quis saber o que significava isto, então alguém notando o seu
interesse, resolveu lhe explicar:
Hoje no final da tarde já estava bastante frio, a temperatura girava
em torno dos 3° C, aí ela desceu para 2° C, continuou esfriando e ela
abaixou para 1° C e uma hora atrás chegou a 0° C. Se a temperatura
continuava a abaixar e já havia atingido o menor dos números naturais,
como então representar uma temperatura ainda mais baixa?
Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico
ou oposto. O oposto do 1 é o -1, do 2 o -2 e assim por diante. O Sinal
"-" indica que se trata de um número negativo, portanto menor que zero.
Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos e o zero é
nulo.
O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos
formam um outro conjunto, o conjunto dos números inteiros e é
representando pela letra Z (
).
A seguir temos uma representação do conjunto dos números inteiros:
Note que diferentemente dos números naturais, que embora infinitos
possuem um número inicial, o zero, os números inteiros assim como os
demais conjuntos numéricos fundamentais não têm, por assim dizer, um
ponto de início. Neste conjunto o zero é um elemento central, pois para
cada número à sua direita, há um respectivo oposto à sua esquerda.
Utilizamos o símbolo
para indicar que um conjunto está contido em outro, ou que é um
subconjunto seu, como o conjunto dos números naturais é um subconjunto
do conjunto dos números inteiros, temos que
.
Podemos também dizer que o conjunto dos números inteiros
contém (
) o conjunto dos números naturais (
).
Como supracitado podemos escrever
para representarmos o conjunto dos números inteiros, mas sem considerarmos o zero:
Com exceção do conjunto dos números naturais, com os demais conjuntos
numéricos fundamentais podemos utilizar os caracteres "+" e "-" como
abaixo:
Note também que
e que
.
Conjunto dos Números Racionais
Esperto por natureza você percebeu que havia mais alguma coisa além
disto. No termômetro você viu que entre um número e outro existiam
várias marcações. Qual a razão disto?
Foi-lhe explicado então que a temperatura não muda abruptamente de
20° C para 21° C ou de -3° C para -4° C, ao invés disto, neste
termômetro as marcações são de décimos em décimos. Para passar de 20° C
para 21° C, por exemplo, primeiro a temperatura sobe para 20,1° C,
depois para 20,2° C e continua assim passando por 20,9° C e finalmente
chegando em 21° C. Estes são números pertencentes ao conjunto dos
números racionais.
Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma
de fração. O numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao
conjunto dos números inteiros e obviamente o denominador não poderá ser
igual a zero, pois não há divisão por zero.
O número
20,1 por exemplo, pode ser expresso como
, assim como
0,375 pode ser expresso como
e
0,2 por ser representado por
.
Note que se dividirmos quatro por nove, iremos obter
0,44444...
que é um número com infinitas casas decimais, todas elas iguais a
quatro. Trata-se de uma dízima periódica simples que também pode ser
representada como
, mas que apesar disto também é um número racional, pois pode ser expresso como
.
O conjunto dos número racionais é representado pela letra Q (
).
O conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais, temos então que
.
Facilmente podemos intuir que
representa o conjunto dos números racionais negativos e que
representa o conjunto dos números racionais positivos ou nulo.
Abaixo temos um conjunto com quatro elementos que é subconjunto do conjunto dos números racionais:
A realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre
dois números racionais quaisquer terá como resultado também um número
racional, obviamente no caso da divisão, o divisor deve ser diferente de
zero. Sejam
a e
b números racionais, temos:
Conjunto dos Números Irracionais
Então mais curioso ainda você perguntou: "Se os números racionais são
todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração, então existem
aqueles que não podem ser expressos desta forma?"
Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números
irracionais. Provavelmente os mais conhecidos deles sejam o número PI (
), o número de Euler (
) e a raiz quadrada de dois (
). Se você se dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua
existência e jamais conseguirá fazê-lo, isto porque tal número possui
infinitas casas decimais e diferentemente das dízimas, elas não são
periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma
característica dos números irracionais.
A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números
irracionais, de fato a raiz quadrada de qualquer número natural que não
seja um quadrado perfeito é um número irracional.
é um número irracional, pois
120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não há um número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em cento e vinte, já
é um número natural, pois
.
A letra I (
) representa o conjunto dos número irracionais.
Utilizando o caractere especial "*", por exemplo, podemos representar
o conjunto dos números irracionais desconsiderando-se o zero por
.
O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números irracionais:
Diferentemente do que acontece com os números racionais, a realização
de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números
irracionais quaisquer não terá obrigatoriamente como resultado também um
número irracional. O resultado poderá tanto pertencer a
, quanto pertencer a
.
Conjunto dos Números Reais
Acima vimos que um número natural também é um número inteiro (
), assim como um número inteiro também é um número racional (
), portanto
.
Vimos também que os números racionais não estão contidos no conjunto
dos números irracionais e vice-versa. A intersecção destes conjuntos
resulta no conjunto vazio:
A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de
todos os elementos que pertencem simultaneamente a todos os conjuntos
envolvidos. Sejam dois conjuntos
e
, a intersecção entre estes dois conjuntos será
.
O conjunto dos números reais é representado pela letra R (
) e é formado pela união do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos irracionais, que simbólicamente representamos por:
.
A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos
os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos envolvidos. Sejam
dois conjuntos
e
, a união entre estes dois conjuntos será
.
O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais (
), assim como o conjunto dos números irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais (
).
Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números reais positivos por
.
Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo número reais:
Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama
Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em um diagrama.
Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto dos números reais (
) é resultado da união do conjunto dos números racionais como o conjunto dos números irracionais (
). Observamos também que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais (
) e que os números naturais são um subconjunto do números inteiros (
).
Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais facilmente
com conjuntos. Ainda neste diagrama rapidamente identificamos que os
números naturais são também números reais (
), mas não são números irracionais (
), isto porque o conjunto dos números irracionais
não contém o conjunto dos números naturais (
), mas sim o conjunto números dos racionais que os contém (
), assim como o conjuntos dos números reais (
) e dos inteiros (
).
Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx
