sábado, 5 de outubro de 2013

ÁLGEBRA NO SÉCULO XIX

[ÁLGEBRA NO SÉCULO XIX]

[GRANDES DESCOBERTAS ALGÉBRICAS]

O século dezenove, mais do que qualquer período precedente, mereceu ser conhecido como Idade Áurea da matemática. Na álgebra o conceito de grupo foi sem dúvida a força mais importante para a coesão, e foi um fator essencial no surgimento das idéias abstratas. Os conceitos fundamentais da álgebra moderna (ou abstrata), topologia e espaços vetoriais foram estabelecidos entre 1920 e 1940, mas a vintena de anos seguinte viu uma verdadeira revolução nos métodos da topologia algébrica que se estendeu à álgebra e à análise, resultando uma nova disciplina chamada álgebra homológica.

[2013]

Getulio Freire

[UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ]

[outubro/2013]

GETULIO FREIRE[1]
1. INTRODUÇÃO

O século dezenove, mais do que qualquer período precedente, mereceu ser conhecido como Idade Áurea da matemática. O que se acrescentou ao assunto durante esses cem anos supera de longe, tanto em quantidade quanto em qualidade , a produtividade total combinada de todas as épocas precedentes.

2. ÁLGEBRA NO SÉCULO XIX

Em 1892 um novo mundo na geometria foi descoberto por Lobachevsky, um russo que tivera um professor alemão, e em 1874 o campo da análise fora assombrado pela matemática do infinito introduzido por Cantor, um alemão nascido na Rússia. A França já não era mais o centro reconhecido do mundo matemático, embora fornecesse a carreira meteórica de Évariste Galois (1811 – 1832). O caráter internacional do assunto se percebe no fato de as duas contribuições mais revolucionárias na álgebra terem sido feitas, em 1843 e 1847, por matemáticos que ensinavam na Irlanda, embora, os contribuidores mais prolíficos à álgebra do século dezenove tenham sido os ingleses que passaram algum tempo na América, - Arthur Caley (1821 – 1895) e J. J. Sylvester (1814 – 1897) – e foi principalmente na universidade de onde esses provinham, Camdridge, que se deu o aparecimento da álgebra moderna.

O ponto de virada na matemática inglesa veio em 1815, o algebrista George Peacock (1791 – 1858) não produziu resultados novos notáveis em matemática, mas teve grande importância na reforma do assunto na Inglaterra, especialmente no que diz respeito à álgebra. Num esforço para justificar as idéias mais amplas na álgebra, Peacock em 1830 publicou seu Treatise on Algebra, em que procurou dar à álgebra uma estrutura lógica comparável à de Os elementos de Euclides. A álgebra de Peacock tinha sugerido que os símbolos para objetos na álgebra não precisam indicar números, e Augustus De Morgan (1806 – 1971) argüía que as interpretações dos símbolos para as operações eram também arbitrárias; George Boole (1815 – 1864) levou o formalismo à sua conclusão. A matemática já não estava limitada a questões de número e grandeza contínua.

Aqui pela primeira vez está claramente expressa a idéia de que a característica essencial da matemática é não tanto seu conteúdo quanto sua forma. Se qualquer tópico é apresentado de tal modo que consiste de símbolos e regras precisas de operação sobre símbolos, sujeitas apenas à exigência de consistência interna, tal tópico é parte da matemática.

3. CONCEITOS MATEMATICOS FUNDAMENTAIS

A multiplicidade de álgebra inventada no século dezenove poderia ter dado à matemática uma tendência centrífuga se não tivessem sido desenvolvidos certos conceitos estruturais. Um dos mais importantes desses foi a noção de grupo, cujo papel unificador na geometria já foi indicado. Na álgebra o conceito de grupo foi sem dúvida a força mais importante par a coesão, e foi um fator essencial no surgimento das idéias abstratas. Não houve uma pessoa responsável pelo surgimento da idéia grupo, mas a figura que mais se sobressai neste contexto foi o homem que deu o nome a esse conceito, o jovem Évariste Galois, morto tragicamente antes de completar vinte anos. A obra de Galois foi importante não só por tornar a noção abstrata de grupo fundamental na teoria das equações, mas também por levar, através das contribuições de J. W. R. Dedekind (1831 – 1916), Leopold Kronecker (1823 – 1891) e Ernst Eduard Kummer (1810 – 1893), ao que se pode chamar tratamento aritmético da álgebra, algo parecido com a aritmetização da análise, isto significa o desenvolvimento de um cuidadoso tratamento postulacional da estrutura algébrica em termos de vários corpos de números.

A Itália tinha parte um tanto menos ativa no desenvolvimento da álgebra que a França, a Alemanha e a Inglaterra, mas durante os últimos anos do século dezenove houve matemáticos italianos que se interessaram profundamente pela lógica matemática. O mais conhecido desses foi Giuseppe Peano (1858 – 1932) cujo nome é lembrado hoje em conexão com os axiomas de Peano dos quais dependem tantas construções rigorosas da álgebra e da análise.

O alto grau de abstração formal que se introduziu na análise, geometria e topologia no começo do século vinte não podia deixar de invadir a álgebra. O resultado de um novo tipo de álgebra, às vezes, inadequadamente descrito como "álgebra moderna", produto em grande parte do segundo terço do século. É de fato verdade que um processo gradual de generalização na álgebra tinha sido desenvolvido no século dezenove, mas no século vinte o grau de abstração deu uma virada brusca, pois x e y já não representavam mais necessariamente números desconhecidos (reais ou complexos) ou segmentos, como na obra de Descartes; agora podiam designar elementos de qualquer tipo – substituições, figuras geométricas, matrizes, polinômios, funções, etc.

4. ÁLGEBRA MODERNA

A notável expansão da matemática aplicada no século vinte de modo algum diminuiu o ritmo do desenvolvimento da matemática pura, nem o surgimento de novos ramos diminuiu o vigor dos antigos.

Os conceitos fundamentais da álgebra moderna (ou abstrata), topologia e espaços vetoriais foram estabelecidos entre 1920 e 1940, mas a vintena de anos seguinte viu uma verdadeira revolução nos métodos da topologia algébrica que se estendeu à álgebra e à análise, resultando uma nova disciplina chamada álgebra homológica. A álgebra homológica é um desenvolvimento da álgebra abstrata que trata de resultados válidos para muitas espécies diferentes de espaços – uma invasão do domínio da álgebra pura pela topologia algébrica. Nunca antes a matemática esteve tão unificada quanto hoje, pois os resultados desse ramo têm aplicação tão ampla que as etiquetas antigas, álgebra, análise, geometria, já não se ajustam aos resultados de pesquisas recentes.

A maior parte do enorme desenvolvimento durante os vinte anos seguintes à Segunda Grande Guerra Mundial teve pouco que ver com as ciências naturais, sendo estimulada por problemas dentro da própria matemática pura; no entanto durante o mesmo período as aplicações da matemática à ciência se multiplicaram incrivelmente. A explicação dessa anomalia parece clara: a abstração e percepção de estruturas tem tido papel cada vez mais importante no estudo da natureza, como na matemática. Por isso mesmo em nossos dias de pensamento superabstrato, a matemática continua a ser a linguagem da ciência, tal como era na antigüidade. No entanto, loucura e sabedoria estão tão misturadas na sociedade humana que há agora uma possibilidade muito real de que a matemática do homem se torne um dia o instrumento de sua própria destruição.

5. BIBLIOGRAFIA

SIMIS, Aron. Introdução à Álgebra. IMPA – Monografias de Matemática. Rio de Janeiro, 1976.

GARCIA, Arnaldo  LEQUAIN, Yves. Álgebra: um curso de introdução. IMPA. Rio de Janeiro, 1988.

AZEVEDO, Alberto  PICCININI, Renzo. Introdução à teoria dos grupos. IMPA, Rio de Janeiro, 1969.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos de Álgebra Abstrata. Nobel. São Paulo, 1979.

[1] ACADÊMICO DE MATEMATICA PELA UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ - UEPA

domingo, 25 de agosto de 2013

O ZERO

Zero (0, ou '—sem representação nos números romanos) é o número que precede o inteiro positivo um, e todos os números positivos, e sucede o um negativo (−1), e todos os números negativos. Ele é definido como a cardinalidade de um conjunto vazio, e o elemento neutro na adição e absorvente na multiplicação.

História

Refere-se que a origem do zero somente ocorreu em três povos: babilônios, hindus e maias. Na Europa, a definição do símbolo zero ocorreu durante a Idade Média, após a aceitação dos algarismos arábicos, que foram divulgados no continente europeu por Leonardo Fibonacci. Esta descoberta representou na época um paradoxo, pois era difícil imaginar a quantificação e a representação do nada, do inexistente. Alguns consideram o zero como sendo uma das maiores invenções da humanidade, pois abriu espaço para a criação de todas as operações matemáticas que são conhecidas atualmente.
A representação gráfica do zero demorou cerca de 400 anos para ser incorporada ao sistema decimal indo-arábico de numeração. Definir graficamente um símbolo para o zero foi de extrema importância a fim de se poder posicionar precisamente os dígitos que formam qualquer número desejado, tanto em um sistema numérico decimal, quanto no uso do ábaco, que representava o zero como sendo uma casa vazia. Originalmente o zero, representado como uma casa vazia, foi o maior avanço no sistema de numeração decimal. Portanto, o zero evoluiu de um vácuo para uma casa vazia ou a um espaço em branco para enfim transformar-se em um símbolo numérico usado pelos hindus e pelos árabes antigos. No início dos anos de 1600, ocorreu uma importante modificação no formato da grafia do décimo número ou do zero, que inicialmente era pequeno e circular “o” evoluindo para o atual formato oval “0” o que possibilitou sua distinção da letra “o” minúscula ou da “O” maiúscula.
Na literatura matemática atual, o significado do valor do zero é usado como se não houvesse nenhum valor numérico ou substancial propriamente dito e também desempenha papel chave da notação necessária ao sistema decimal, em que o zero muitas vezes surge como um guardador de lugar (para diferenciar, por exemplo, números como 52 de 502, de 5002, etc), e para expressar todos os números com nove dígitos, do um ao nove e o zero como o décimo numeral.
Mas é importante frisar que nos conjuntos numéricos, os números foram surgindo com a necessidade, através das operações com seus elementos, exemplo: ao operar 2 - 3, chegou -se ao número negativo -1, como só se conhecia os números N*, houve a necessidade de se criar um novo conjunto, os dos Z*, assim, ao se operar 1 - 1, houve a necessidade de se representar o vazio e incluí- lo nos conjuntos. assim os naturais e como não dizer todos os conjuntos numéricos estavam completos (já que um conjunto é completo quando ele é fechado para determinada operação).

Extraído do site:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero

Veja o video, muito interessante.

sábado, 15 de junho de 2013

Marcas do Movimento

sábado, 8 de junho de 2013

Funções trigonométricas

Função trigonométrica

Em matematica, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triangulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no circulo unitario. Na analise matematica, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries finitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexo.
Atualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo. As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco co-seno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", i.e., arcsen, arccos, etc.; a notação usando-se −1 como na notação da função inversa não é recomendada, pois causa confusão com o inverso multiplicativo, como em sen^-1 e cos^-1. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo:

$\operatorname{arcsen}(1) = \frac{\pi}{2}$

pois

$\operatorname{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1$ .

A noção de que existe alguma correspondência padrão entre os tamanhos dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo surge assim que se reconhece que triângulos semelhantes têm as mesmas razões entre seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante, a razão entre a hipotenusa (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados serão duas vezes maiores. As funções trigonométricas expressam justamente tais razões. As funções trigonométricas foram estudadas por Hiparco de Niceia (180-125 a.C.), Ptolomeu do Egito (90-165 d.C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (século XIV), Ulugh Beg (século XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus, e o estudante de Rheticus, Valentin Otho.Madhava de Sangamagramma (c. 1400) fez progressos iniciais na análise de funções trigonométricas em termos de séries infinitas. Introductio in analysin infinitorum (1748), de Leonhard Euler, foi em boa parte responsável por estabelecer o tratamento analítico das funções trigonométricas na Europa, também as definindo como séries infinitas e apresentando a "fórmula de Euler", bem como as abreviações quase modernas sen., cos., tang., cot., sec., e cosec.Algumas funções eram historicamente comuns, mas agora são raramente usadas, como a corda (crd(θ) = 2 sen(θ/2)), o verseno (versen(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sen²(θ/2)) (que surgiu nas mais antigas tabelas), o haverseno (haversen(θ) = versen(θ) / 2 = sen²(θ/2)), a exsecante (exsec(θ) = sec(θ) − 1) e a excossecante (excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1). Muitas outras relações entre essas funções estão listadas no artigo sobre identidades trigonométricas.
Etimologicamente, a palavra seno deriva da palavra sânscrita para metade da corda, jya-ardha, abreviada para jiva. Esta foi transliterada para o árabe como jiba, escrita como jb, já que as vogais não são escritas em árabe. A seguir, a transliteração foi mal traduzida, no século XII, para o latim, como sinus, com a impressão errônea de que jb referia-se à palavra jaib, que significa "seio" em árabe, tal como sinus em latim. Finalmente, o uso em língua portuguesa converteu a palavra latina sinus para seno. A palavra tangente vem do latim tangens, que significa tocando, já que a linha toca o círculo unitário; já secante origina-se do latim secans — "cortando" — já que a linha corta o círculo.

Definição do triângulo retângulo

A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo $\alpha\,$ , considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a $\alpha\,$ . As funções são definidas como:

Triângulo retângulo indicando a hipotenusa e os catetos.

$\begin{array}{rclcl} \sen \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{a}{h}\\ ~\\ \cos \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{b}{h}\\ ~\\ \tan \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{a}{b}\\ ~\\ \cot \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{b}{a}\\ ~\\ \sec \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{h}{b}\\ ~\\ \csc \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{h}{a} \end{array}\,$

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo. Isto é uma consequência do teorema de Tales.

Definição no ciclo trigonométrico

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo $\theta\,$ real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto $(x,y)\,$ pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de Pitágoras afirma que:

$x^2 + y^2=1\quad (1)\,$

E, ainda, para cada ângulo $\theta\,$ existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento $\overline{OP}\,$ faz um ângulo $\theta\,$ com o eixo x.
Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento $\overline{OP}\,$ sobre o eixo y. O co-seno é definido como a projeção do segmento $\overline{OP}\,$ com o eixo x. Isto é:

$\sen\theta=y\quad \cos\theta=x\quad (2)\,$

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:

$\begin{array}{rclrcl} \tan \theta &=& \frac{\sen \theta}{\cos \theta}\quad & \sec \theta &=& \frac{1}{\cos \theta}\\~\\ \csc\, \theta &=& \frac{1}{\sen \theta}\quad & \cot\, \theta &=& \frac{\cos \theta}{\sen \theta}\end{array}$

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo retângulo.

Ângulos notáveis

Podemos calcular as funções trigonométricas para os ângulos de 30 e 60 graus através de um triângulo equilátero partido ao meio por sua altura.

$\begin{array}{rclcrcl} \sen 30^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2},\quad& \sen 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\~\\ \cos 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},& \cos 60^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\~\\ \tan 30^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3},& \tan 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\~\\ \cot 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},& \cot 60^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\~\\ \sec 30^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3},& \sec 60^o &=& \frac{1}{1/2}=2\\~\\ \csc 30^o &=& \frac{1}{1/2}=2,& \csc 60^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array} \,$

As funções trigonométricas para o ângulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxílio de um triângulo retângulo isósceles de catetos 1, cuja hipotenusa vale (pelo teorema de Pitágoras) $\sqrt{2}\,$ .

$\begin{array}{rclcrcl} \sen 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad& \cos 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\~\\ \tan 45^o &=& \frac{1}{1}=1,\quad& \cot 45^o &=& \frac{1}{1}=1\\~\\ \sec 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \quad& \csc 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \end{array} \,$

Funções elementares

Função seno

Gráfico de f(x) = sen x

$f(x) = \operatorname{sen}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = sen x$

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D = R$
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname{Im} = [-1, 1]$
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2\pi$ . Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função $f(x) = \operatorname{sen}\, x$ , a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a $2\pi$ , portanto o período é 2 $\pi$ .
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
- f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).
- f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).

Função cosseno

Gráfico de f(x) = cos x

$f(x) = \operatorname{cos}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = cos x$

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D = R$
Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname{Im} = [-1, 1]$
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2\pi$ . Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x , a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a $2\pi$ , portanto o período é $2\pi$ .
Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
- f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
- f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).

Função tangente

Gráfico de f(x) = tg x

$f(x) = \operatorname{tg}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = tg x$

Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de $\cos x = 0$ (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
Conjunto Imagem: $\operatorname{Im} = \left]-\infty, \infty \right[$
Gráfico: Tangentóide.
Período: $\pi$
Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:

f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).

f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).

Bibliografia

Adaptado do site:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica

Acessado em 08/06/2013 ás 08:56 horas

sexta-feira, 31 de maio de 2013

3ª CONFERENCIA DE EDUCÇÃO EM ITAITUBA

Com o tema: “O PNE na Articulação do Sistema Nacional de Educação: Participação Popular, Cooperação Federativa e Regime de Colaboração”, aconteceu no Centro de Convenção Daniel Berg a III Conferência Municipal de Educação. A solenidade de abertura contou com a presença da Prefeita Eliene Nunes, Secretária Municipal de Educação Ana Paula, Professora Dra Eliane Felipe, Vereadores, além de um grande número de educadores e profissionais da área da educação da cidade e do interior.

Em pronunciamento a Secretária de Educação Ana Paula disse que a conferência é o momento de avaliar os avanços e pensar o que deve ser feito para elaborar diretrizes que venham proporcionar ainda mais melhoria na educação. “É importante a participação de todos, pois, desta conferência sairão as diretrizes que vão nortear nossa educação”, disse Ana Paula, acrescentando que a educação tem uma importantíssima função social que é a formação do cidadão.

Na solenidade de abertura, a Prefeita Eliene Nunes evidenciou a participação de todos, para que as propostas possam ser construídas dentro da realidade do município. A III Conferência Municipal de Educação de Itaituba encerra com a aprovação das propostas e escolha dos delegados que irão participar da CONAE em 2014. A conferência foi composta dos seguintes eixos: Plano Nacional e Estadual de Educação e o Sistema Nacional de Educação: organização e regulação; Educação e diversidade: justiça social, inclusão e direitos humanos; Educação, trabalho e desenvolvimento sustentável: cultura, ciência, tecnologia, saúde e meio ambiente; Qualidade na Educação: democratização de acesso, permanência, avaliação, condições de participação e aprendizagem; Gestão democrática, Participação popular e Controle social; Valorização dos profissionais da Educação: formação, remuneração, carreira e condições de trabalho; e

Financiamento da Educação: gestão, transparência e controle social dos recursos.

Adaptado do site
http://itaituba.pa.gov.br/portal/author/PMI/