sábado, 8 de junho de 2013

Funções trigonométricas

Função trigonométrica

Em matematica, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triangulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no circulo unitario. Na analise matematica, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries finitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexo.
Atualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo. As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco co-seno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", i.e., arcsen, arccos, etc.; a notação usando-se −1 como na notação da função inversa não é recomendada, pois causa confusão com o inverso multiplicativo, como em sen^-1 e cos^-1. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo:

$\operatorname{arcsen}(1) = \frac{\pi}{2}$

pois

$\operatorname{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1$ .

A noção de que existe alguma correspondência padrão entre os tamanhos dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo surge assim que se reconhece que triângulos semelhantes têm as mesmas razões entre seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante, a razão entre a hipotenusa (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados serão duas vezes maiores. As funções trigonométricas expressam justamente tais razões. As funções trigonométricas foram estudadas por Hiparco de Niceia (180-125 a.C.), Ptolomeu do Egito (90-165 d.C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (século XIV), Ulugh Beg (século XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus, e o estudante de Rheticus, Valentin Otho.Madhava de Sangamagramma (c. 1400) fez progressos iniciais na análise de funções trigonométricas em termos de séries infinitas. Introductio in analysin infinitorum (1748), de Leonhard Euler, foi em boa parte responsável por estabelecer o tratamento analítico das funções trigonométricas na Europa, também as definindo como séries infinitas e apresentando a "fórmula de Euler", bem como as abreviações quase modernas sen., cos., tang., cot., sec., e cosec.Algumas funções eram historicamente comuns, mas agora são raramente usadas, como a corda (crd(θ) = 2 sen(θ/2)), o verseno (versen(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sen²(θ/2)) (que surgiu nas mais antigas tabelas), o haverseno (haversen(θ) = versen(θ) / 2 = sen²(θ/2)), a exsecante (exsec(θ) = sec(θ) − 1) e a excossecante (excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1). Muitas outras relações entre essas funções estão listadas no artigo sobre identidades trigonométricas.
Etimologicamente, a palavra seno deriva da palavra sânscrita para metade da corda, jya-ardha, abreviada para jiva. Esta foi transliterada para o árabe como jiba, escrita como jb, já que as vogais não são escritas em árabe. A seguir, a transliteração foi mal traduzida, no século XII, para o latim, como sinus, com a impressão errônea de que jb referia-se à palavra jaib, que significa "seio" em árabe, tal como sinus em latim. Finalmente, o uso em língua portuguesa converteu a palavra latina sinus para seno. A palavra tangente vem do latim tangens, que significa tocando, já que a linha toca o círculo unitário; já secante origina-se do latim secans — "cortando" — já que a linha corta o círculo.

Definição do triângulo retângulo

A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo $\alpha\,$ , considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a $\alpha\,$ . As funções são definidas como:

Triângulo retângulo indicando a hipotenusa e os catetos.

$\begin{array}{rclcl} \sen \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{a}{h}\\ ~\\ \cos \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{b}{h}\\ ~\\ \tan \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{a}{b}\\ ~\\ \cot \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{b}{a}\\ ~\\ \sec \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{h}{b}\\ ~\\ \csc \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{h}{a} \end{array}\,$

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo. Isto é uma consequência do teorema de Tales.

Definição no ciclo trigonométrico

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo $\theta\,$ real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto $(x,y)\,$ pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de Pitágoras afirma que:

$x^2 + y^2=1\quad (1)\,$

E, ainda, para cada ângulo $\theta\,$ existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento $\overline{OP}\,$ faz um ângulo $\theta\,$ com o eixo x.
Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento $\overline{OP}\,$ sobre o eixo y. O co-seno é definido como a projeção do segmento $\overline{OP}\,$ com o eixo x. Isto é:

$\sen\theta=y\quad \cos\theta=x\quad (2)\,$

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:

$\begin{array}{rclrcl} \tan \theta &=& \frac{\sen \theta}{\cos \theta}\quad & \sec \theta &=& \frac{1}{\cos \theta}\\~\\ \csc\, \theta &=& \frac{1}{\sen \theta}\quad & \cot\, \theta &=& \frac{\cos \theta}{\sen \theta}\end{array}$

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo retângulo.

Ângulos notáveis

Podemos calcular as funções trigonométricas para os ângulos de 30 e 60 graus através de um triângulo equilátero partido ao meio por sua altura.

$\begin{array}{rclcrcl} \sen 30^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2},\quad& \sen 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\~\\ \cos 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},& \cos 60^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\~\\ \tan 30^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3},& \tan 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\~\\ \cot 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},& \cot 60^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\~\\ \sec 30^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3},& \sec 60^o &=& \frac{1}{1/2}=2\\~\\ \csc 30^o &=& \frac{1}{1/2}=2,& \csc 60^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array} \,$

As funções trigonométricas para o ângulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxílio de um triângulo retângulo isósceles de catetos 1, cuja hipotenusa vale (pelo teorema de Pitágoras) $\sqrt{2}\,$ .

$\begin{array}{rclcrcl} \sen 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad& \cos 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\~\\ \tan 45^o &=& \frac{1}{1}=1,\quad& \cot 45^o &=& \frac{1}{1}=1\\~\\ \sec 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \quad& \csc 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \end{array} \,$

Funções elementares

Função seno

Gráfico de f(x) = sen x

$f(x) = \operatorname{sen}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = sen x$

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D = R$
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname{Im} = [-1, 1]$
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2\pi$ . Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função $f(x) = \operatorname{sen}\, x$ , a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a $2\pi$ , portanto o período é 2 $\pi$ .
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
- f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).
- f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).

Função cosseno

Gráfico de f(x) = cos x

$f(x) = \operatorname{cos}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = cos x$

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D = R$
Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname{Im} = [-1, 1]$
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2\pi$ . Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x , a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a $2\pi$ , portanto o período é $2\pi$ .
Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
- f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
- f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).

Função tangente

Gráfico de f(x) = tg x

$f(x) = \operatorname{tg}\, x$

Associa a cada número real x o número $y = tg x$

Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de $\cos x = 0$ (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
Conjunto Imagem: $\operatorname{Im} = \left]-\infty, \infty \right[$
Gráfico: Tangentóide.
Período: $\pi$
Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:

f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).

f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).

Bibliografia

Adaptado do site:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica

Acessado em 08/06/2013 ás 08:56 horas

sexta-feira, 31 de maio de 2013

3ª CONFERENCIA DE EDUCÇÃO EM ITAITUBA

Com o tema: “O PNE na Articulação do Sistema Nacional de Educação: Participação Popular, Cooperação Federativa e Regime de Colaboração”, aconteceu no Centro de Convenção Daniel Berg a III Conferência Municipal de Educação. A solenidade de abertura contou com a presença da Prefeita Eliene Nunes, Secretária Municipal de Educação Ana Paula, Professora Dra Eliane Felipe, Vereadores, além de um grande número de educadores e profissionais da área da educação da cidade e do interior.

Em pronunciamento a Secretária de Educação Ana Paula disse que a conferência é o momento de avaliar os avanços e pensar o que deve ser feito para elaborar diretrizes que venham proporcionar ainda mais melhoria na educação. “É importante a participação de todos, pois, desta conferência sairão as diretrizes que vão nortear nossa educação”, disse Ana Paula, acrescentando que a educação tem uma importantíssima função social que é a formação do cidadão.

Na solenidade de abertura, a Prefeita Eliene Nunes evidenciou a participação de todos, para que as propostas possam ser construídas dentro da realidade do município. A III Conferência Municipal de Educação de Itaituba encerra com a aprovação das propostas e escolha dos delegados que irão participar da CONAE em 2014. A conferência foi composta dos seguintes eixos: Plano Nacional e Estadual de Educação e o Sistema Nacional de Educação: organização e regulação; Educação e diversidade: justiça social, inclusão e direitos humanos; Educação, trabalho e desenvolvimento sustentável: cultura, ciência, tecnologia, saúde e meio ambiente; Qualidade na Educação: democratização de acesso, permanência, avaliação, condições de participação e aprendizagem; Gestão democrática, Participação popular e Controle social; Valorização dos profissionais da Educação: formação, remuneração, carreira e condições de trabalho; e

Financiamento da Educação: gestão, transparência e controle social dos recursos.

Adaptado do site
http://itaituba.pa.gov.br/portal/author/PMI/

sábado, 25 de maio de 2013

II FEIRA DO CONHECIMENTO NA ESCOLA SÃO FRANCISCO DAS CHAGAS

Neste dia 22 de maio do corrente, ocorreu na escola São Francisco das Chagas localizada na 29ª rua do bairro Piracanã a segunda Feira do Conhecimento. Com o tema: A MATEMATICA E A SUA RELAÇÃO COM O MEIO AMBIENTE

Com a justificativa todos tem direito a educação ambiental e promoção de melhores políticas de relações com o meio ambiente a direção da escola com toda a comunidade escolar visou integrar as atividades desenvolvidas na escola com as dificuldades ambientais dos dias atuais.

As exposições e apresentações aconteceram durante toda a tarde e parte da noite e nas palavras da diretora Terezinha Luna Diogo o evento correspondeu suas expectativas, porém a mesma esperava uma maior participação dos pais. ‘’Olha gostei das oficinas, das apresentações, mas a presença dos pais acompanhando seus filhos ficou a desejar’’...

Todos os materiais e apresentações foram desenvolvidos pelos alunos com a orientação dos professores.

Veja algumas imagens:

Figura 1: Alunos expondo trabalhos de geometria

Figura 2: Construção retangular com recicláveis

A proposta da feira era mostrar o quanto é possível fazer com materiais reciclados, principalmente a modelagem e manipulação de figuras geométricas, além de bonitos arranjos para enfeites nos lares, assim como lembrancinhas de aniversário por exemplo.

Figura 3: Enfeites e lembrancinhas com copos descartáveis

Figura 4: Cubo geométrico feito com papelão reciclado

Figura 5: Peças feitas por alunos do 3º ano, com materiais reciclados

Figura 6: Sala e Materiais sendo preparados por alunos e professores

sábado, 18 de maio de 2013

Matematica na Musica

MATEMÁTICA EM TODA PARTE - MATEMÁTICA NA MÚSICA

Sinopse

Série de doze episódios que, a partir de atividades sugeridas pelo professor Bigode, mostra a presença de importantes conceitos matemáticos em nosso dia a dia.

Matemática na música

Nesse episódio você vai descobrir que existem muitas coisas em comum entre a música e a matemática. O professor Bigode vai até a Escola de musica de Piracicaba encontrar o professor Pedro Gobet e a professora Beatriz para falar de escalas, frações e proporções.

Duração
26'00'' minutos
Série
MATEMÁTICA EM TODA PARTE
Palavras chave deste vídeo
MATEMÁTICA; MÚSICA; BIGODE; EXATAS; ESCALAS; FRAÇÕES; PROPORÇÕES; EQUAÇÕES; PEDRO GOBET

Criando no Adobe Flash Professional - DOMINÓ VIRTUAL

TUTORIAL PARA ELABORAR MATERIAIS EDUCACIONAIS

Este é um exemplo simples porém muito importante de há muitas forma de incrementar e inovar com novas formas de trabalhar os conteúdos de matemática na sala de aula. O adobe flash, sém dúvidas, oferece muitas ferramenta de criação, onde o professor poderá construir a maior parte de seu material de ensino, ou construir com os proprios alunos na sala.

Segue o passo a passo para a criação de um DOMINÓ VIRTUAL,produzido por:

Rudieri Turchiello Colbek

Tânia Michel Pereira

Juliane Sbaraine Pereira Costa

Construção de Dominó Virtual com Flash

Nesta apostila são apresentados e descritos os passos para a construção de dominó virtual utilizando o Flash 8. Iniciaremos pela construção das figuras.

1º Passo:

Abra o programa Flash 8, clique em Flash Document, com mostra a figura abaixo.

Mais informações »