Matemática pra Você!: Álgebra Booleana

George Boole

                 Na matemática, na lógica e na ciência da computação, as álgebras booleanas são estruturas algébricas que "captam as propriedades essenciais" dos operadores lógicos e de conjuntos.
                 Recebeu o nome de boleana em homenagem a George Boole, matemático inglês, que foi o primeiro a defini-las como parte de um sistema de lógica em meados do século XIX. Mais especificamente, a álgebra booleana foi uma tentativa de utilizar técnicas algébricas para lidar com expressões no cálculo proposicional. Hoje, as álgebras booleanas têm muitas aplicações na electrônica. Foram pela primeira vez aplicadas a interruptores por Claude Shannon, no século XX.
   Uma álgebra booleana é uma 6-upla $(X, \vee, \wedge, \neg, 0, 1)$ consistindo de um conjunto $X$ munido de duas operações binárias $\vee$ (também denotado por $+$ , é geralmente chamado de "ou") e $\wedge$ (também denotado por $\ast$ ou por $\cdot$ , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária $\neg$ (também denotada por $\sim$ ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes $0$ (também denotada por $\bot$ ou por $F$ , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e $1$ (também denotada por $\top$ ou por $V$ , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer $a, b, c \in X$ :

Propriedades Associativas

$(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$
$(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$

Propriedades Comutativas

$a \vee b = b \vee a$
$a \wedge b = b \wedge a$

Propriedades Distributivas

$a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$
$a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$

Elementos Neutros

$a \vee 0 = a$
$a \wedge 1 = a$

Elementos Complementares

$a \vee \neg a = 1$
$a \wedge \neg a = 0$

Alguns autores também incluem a propriedade $0 \neq 1$ , para evitar a álgebra booleana com somente um elemento.

Teoremas

Dado uma álgebra booleana sobre $X$ , são válidos para quaisquer $a, b \in X$ :
Propriedades Idempotentes
$a \vee a = a$
$a \wedge a = a$

Dupla Negação

$\neg (\neg a) = a$

Leis de De Morgan

$\neg (a \vee b) = \neg a \wedge \neg b$
$\neg (a \wedge b) = \neg a \vee \neg b$

Propriedades Absorventes

$a \vee (a \wedge b) = a$
$a \wedge (a \vee b) = a$

Elementos Absorventes

$a \vee 1 = 1$
$a \wedge 0 = 0$

Negações do Zero e do Um

$\neg 0 = 1$
$\neg 1 = 0$

Definições alternativas da operação binária $\veebar$ (também denotado por $\oplus$ , é geralmente chamado de "xou" ou de "ou exclusivo")

$(a \vee b) \wedge (\neg a \vee \neg b) = (a \wedge \neg b) \vee (\neg a \wedge b)$

Ordem

Dado uma álgebra booleana sobre $X$ , é válido para quaisquer $a, b \in X$ :

$a \vee b = b$ se e somente se $a \wedge b = a$

A relação $\leq$ definida como $a \leq b$ se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em $X$ . O supremo e o ínfimo do conjunto $\{a, b\}$ são $a \vee b$ e $a \wedge b$ , respectivamente.

Referencias:

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booleana
( acessado: em 12 de maio de 2013, ás 16:19 horas).

domingo, 12 de maio de 2013

Álgebra Booleana

Teoremas

Ordem

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Veja também: